高等数学公式

高等数学作为工科专业至关重要的基础学科，其知识体系广泛应用于物理、工程、计算机科学等众多领域。掌握高等数学中的各类公式，是理解和解决实际工程问题的关键。本文档旨在全面汇总高等数学（工科）中涉及的主要公式，为学习者提供一个系统且便捷的参考工具。

目录函数与极限导数与微分微分中值定理与导数的应用不定积分定积分定积分的应用微分方程向量代数与空间解析几何多元函数微分法及其应用重积分曲线积分与曲面积分无穷级数正文1. 函数与极限1.1 函数相关公式幂函数：y=xμy = x^{\mu}y=xμ（μ\muμ为常数）指数函数：y=axy = a^{x}y=ax（a>0,a≠1a>0,a\neq1a>0,a=1），其特殊情况y=exy = e^{x}y=ex对数函数：y=log⁡axy=\log_{a}xy=loga​x（a>0,a≠1a > 0,a\neq1a>0,a=1），常用对数y=lg⁡xy = \lg xy=lgx（a=10a = 10a=10），自然对数y=ln⁡xy=\ln xy=lnx（a=ea = ea=e）三角函数： sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1sin2x+cos2x=11+tan⁡2x=sec⁡2x1+\tan^{2}x=\sec^{2}x1+tan2x=sec2x1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^{2}x=\csc^{2}x1+cot2x=csc2xsin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin Bsin(A±B)=sinAcosB±cosAsinBcos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin Bcos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinBtan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A\pm B)=\frac{\tan A\pm\tan B}{1\mp\tan A\tan B}tan(A±B)=1∓tanAtanBtanA±tanB​反三角函数： arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\arcsin(-x)=-\arcsin xarcsin(−x)=−arcsinxarccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x)=\pi - \arccos xarccos(−x)=π−arccosxarctan⁡(−x)=−arctan⁡x\arctan(-x)=-\arctan xarctan(−x)=−arctanx1.2 极限相关公式极限运算法则： 若lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=Ax→x0​lim​f(x)=A，lim⁡x→x0g(x)=B\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=Bx→x0​lim​g(x)=B，则lim⁡x→x0[f(x)±g(x)]=A±B\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)\pm g(x)]=A\pm Bx→x0​lim​[f(x)±g(x)]=A±B；lim⁡x→x0[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot Bx→x0​lim​[f(x)⋅g(x)]=A⋅B；lim⁡x→x0f(x)g(x)=AB(B≠0)\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)x→x0​lim​g(x)f(x)​=BA​(B=0)两个重要极限： lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1x→0lim​xsinx​=1lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{x})^{x}=ex→∞lim​(1+x1​)x=e 或 lim⁡t→0(1+t)1t=e\lim\limits_{t\rightarrow0}(1 + t)^{\frac{1}{t}}=et→0lim​(1+t)t1​=e2. 导数与微分2.1 导数定义函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)在点x0x_{0}x0​处的导数：f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f^\prime(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​2.2 基本求导公式(C)′=0(C)^\prime = 0(C)′=0（CCC为常数）(xn)′=nxn−1(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}(xn)′=nxn−1（n∈Rn\in Rn∈R）(ax)′=axln⁡a(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a(ax)′=axlna（a>0,a≠1a>0,a\neq1a>0,a=1），(ex)′=ex(e^{x})^\prime = e^{x}(ex)′=ex(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_{a}x)^\prime=\frac{1}{x\ln a}(loga​x)′=xlna1​（a>0,a≠1a>0,a\neq1a>0,a=1），(ln⁡x)′=1x(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}(lnx)′=x1​(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)^\prime=\cos x(sinx)′=cosx(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)^\prime=-\sin x(cosx)′=−sinx(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)^\prime=\sec^{2}x(tanx)′=sec2x(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)^\prime=-\csc^{2}x(cotx)′=−csc2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)^\prime=\sec x\tan x(secx)′=secxtanx(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)^\prime=-\csc x\cot x(cscx)′=−cscxcotx(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}(arcsinx)′=1−x2​1​(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}(arccosx)′=−1−x2​1​(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}(arctanx)′=1+x21​(arccotx)′=−11+x2(\text{arccot}x)^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}(arccotx)′=−1+x21​2.3 求导法则四则运算法则： (u±v)′=u′±v′(u\pm v)^\prime=u^\prime\pm v^\prime(u±v)′=u′±v′(uv)′=u′v+uv′(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)(vu​)′=v2u′v−uv′​(v=0)复合函数求导法则（链式法则）：若y=f(u)y = f(u)y=f(u)，u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x)，则dydx=dydu⋅dudx=f′(u)⋅φ′(x)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f^\prime(u)\cdot\varphi^\prime(x)dxdy​=dudy​⋅dxdu​=f′(u)⋅φ′(x)2.4 微分函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)的微分：dy=f′(x)dxdy=f^\prime(x)dxdy=f′(x)dx3. 微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理罗尔定理：若函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0f^\prime(\xi)=0f′(ξ)=0拉格朗日中值定理：若函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)满足：（1）在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b - a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)柯西中值定理：若函数f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)满足：（1）在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导；（3）对任意x∈(a,b)x\in(a,b)x∈(a,b)，g′(x)≠0g^\prime(x)\neq0g′(x)=0，则至少存在一点ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​3.2 洛必达法则对于00\frac{0}{0}00​型或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​型未定式，若lim⁡x→x0f(x)g(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}x→x0​lim​g(x)f(x)​满足相应条件，则lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}x→x0​lim​g(x)f(x)​=x→x0​lim​g′(x)f′(x)​3.3 函数单调性与极值函数单调性判定：若在区间(a,b)(a,b)(a,b)内f′(x)>0f^\prime(x)>0f′(x)>0，则f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)上单调递增；若f′(x)<0f^\prime(x)<0f′(x)<0，则f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)上单调递减极值判定： 第一充分条件：设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处连续，且在x0x_{0}x0​的某去心邻域内可导。若在x0x_{0}x0​左侧f′(x)>0f^\prime(x)>0f′(x)>0，右侧f′(x)<0f^\prime(x)<0f′(x)<0，则f(x0)f(x_{0})f(x0​)为极大值；若在x0x_{0}x0​左侧f′(x)<0f^\prime(x)<0f′(x)<0，右侧f′(x)>0f^\prime(x)>0f′(x)>0，则f(x0)f(x_{0})f(x0​)为极小值第二充分条件：设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_{0}x0​处具有二阶导数且f′(x0)=0f^\prime(x_{0}) = 0f′(x0​)=0，f′′(x0)≠0f^{\prime\prime}(x_{0})\neq0f′′(x0​)=0。若f′′(x0)<0f^{\prime\prime}(x_{0})<0f′′(x0​)<0，则f(x0)f(x_{0})f(x0​)为极大值；若f′′(x0)>0f^{\prime\prime}(x_{0})>0f′′(x0​)>0，则f(x0)f(x_{0})f(x0​)为极小值4. 不定积分4.1 不定积分定义若F′(x)=f(x)F^\prime(x)=f(x)F′(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C（CCC为任意常数）4.2 基本积分公式∫kdx=kx+C\int kdx=kx + C∫kdx=kx+C（kkk为常数）∫xndx=xn+1n+1+C\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C∫xndx=n+1xn+1​+C（n≠−1n\neq - 1n=−1）∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C∫x1​dx=ln∣x∣+C∫axdx=axln⁡a+C\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C∫axdx=lnaax​+C（a>0,a≠1a>0,a\neq1a>0,a=1），∫exdx=ex+C\int e^{x}dx=e^{x}+C∫exdx=ex+C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int\sin xdx=-\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int\cos xdx=\sin x + C∫cosxdx=sinx+C∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int\sec^{2}xdx=\tan x + C∫sec2xdx=tanx+C∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int\csc^{2}xdx=-\cot x + C∫csc2xdx=−cotx+C∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int\sec x\tan xdx=\sec x + C∫secxtanxdx=secx+C∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int\csc x\cot xdx=-\csc x + C∫cscxcotxdx=−cscx+C∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\arcsin x + C∫1−x2​1​dx=arcsinx+C∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C∫1+x21​dx=arctanx+C4.3 积分方法换元积分法： 第一类换元法（凑微分法）：∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f(u)du\int f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=\int f(u)du∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f(u)du（令u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x)）第二类换元法：∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt（令x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t)）分部积分法：∫udv=uv−∫vdu\int u dv=uv-\int v du∫udv=uv−∫vdu5. 定积分5.1 定积分定义∫abf(x)dx=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}∫ab​f(x)dx=λ→0lim​∑i=1n​f(ξi​)Δxi​，其中λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯ ,Δxn}\lambda=\max\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\}λ=max{Δx1​,Δx2​,⋯,Δxn​}5.2 定积分性质∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx∫ab​[f(x)±g(x)]dx=∫ab​f(x)dx±∫ab​g(x)dx∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx∫ab​kf(x)dx=k∫ab​f(x)dx（kkk为常数）∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx（a